行列式（determinant）

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

定义

n阶行列式：

为所有不同行不同列的n个元素乘积

的代数和，其

是

的某一个n级排列（n个数组成的一个有序数组）。

当该排列是偶排列（逆序数为偶数的排列）时，该项符号为正；

当该排列是奇排列（逆序数为奇数的排列）时，该项符号为负，即

其中，

，表示该排列的逆序数。

，表示对所有n!项n级排列求和。

性质

1）性质1：

行列式的行和列互换，其值不变。即行列式D与它的转置行列式相等，

2）性质2：

互换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号改变。

推论1：如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式等于0。

3）性质3：

用一个数k乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于该数乘以此行列式。

推论2：行列式的某一行(列)有公因子时，可以把公因子提到行列式的外面。

推论3：若行列式的某一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0。

推论4：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则行列式等于0。

4）性质4：

如果行列式的某行(列)中各元素均为两项之和，则这个行列式可以拆成除这一行(列)以外其余元素不变的两个行列式的和。

性质4可推广到某行(列)各元素为多项之和的情形。

5）性质5：

把行列式中某一行(列)的各元素同乘以一个数k，加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。

计算

行列式等于其任意某行（或某列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。

1）行列式某元素aij的余子式Mij：

行列式划去该元素所在的行与列的各元素，剩下的元素按原样排列，得到的新行列式；

2）行列式某元素aij的代数余子式Aij：

行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。

具体的，

二阶行列式：

三阶行列式：

（按第一行展开）